Probabilidad de Eventos Independientes
Objetivo de Aprendizaje
· Calcular la probabilidad de eventos independientes.
Introducción
Algunas situaciones de probabilidad implican más de un evento. Cuando los eventos no se afectan entre sí, se les conoce como eventos independientes. Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Muchas otras situaciones también pueden incluir eventos independientes. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos saber si un evento influye en el resultado de otros eventos.
Situación
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Eventos
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Por qué los eventos son independientes
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Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?
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El primer lanzamiento no es un 6.
El primer lanzamiento es un 6.
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El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")
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Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?
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Sacar una canica roja en el primer intento.
Sacar una canica roja en el segundo intento.
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Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.
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Sacas una carta de un mazo de 52 cartas, y luego lanzas un dado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 y luego lanzar y que caiga 2?
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La carta es un 2.
El dado cae en 2.
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Aunque la carta no es regresada al mazo después de sacarla, el lanzamiento del dado no depende de las cartas, por lo que ningún posible resultado ha sido reemplazado. A pesar del resultado de sacar la carta, la probabilidad de del dado no será afectada.
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probabilidad de Eventos Independientes
Veamos el espacio muestral y el espacio de eventos de los ejemplos de la sección anterior.
· Lanzas un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo tiro pero no en el primero?
En este ejemplo, el dado es lanzado dos veces.
Primer lanzamiento
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1
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2
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3
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4
|
5
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6
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Segundo lanzamiento
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1
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1,1
|
2,1
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3,1
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4,1
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5,1
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6,1
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2
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1,2
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2,2
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3,2
|
4,2
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5,2
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6,2
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3
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1,3
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2,3
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3,3
|
4,3
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5,3
|
6,3
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4
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1,4
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2,4
|
3,4
|
4,4
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5,4
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6,4
| |
5
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1,5
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2,5
|
3,5
|
4,5
|
5,5
|
6,5
| |
6
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1,6
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2,6
|
3,6
|
4,6
|
5,6
|
6,6
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Existen 6 resultados posibles para el primer tiro, y para cada uno de ellos, hay 6 resultados posibles para el segundo tiro. Hay 6 • 6, o 36, resultados posibles:
Espacio muestral: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
El espacio muestral consiste en todos los resultados para los cuales el primero tiro no fue 6, y el segundo tiro fue 6. Para el primer lanzamiento existían 5 resultados posibles que no son 6. Para cada uno de ellos, existía sólo un posible resultado que era 6. Entonces hay 5 • 1 o 5 resultados en el espacio de eventos:
Espacio de eventos: {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}
Nota que el tamaño del espacio muestral para ambos lanzamientos es el producto del tamaño del espacio muestral para cada lanzamiento. De manera similar, el tamaño del espacio de eventos par dos lanzamientos es el producto del tamaño de los espacios de eventos de cada lanzamiento.
Veamos el escenario 2:
· Sacas una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Anotas el color, regresas la canica a la bolsa, y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja ambas veces?
Para ayudarnos a recordar que hay dos canicas rojas, las nombraremos R1 y R2. Haremos lo mismo con las canicas blancas, W1 y W2.
Primera sacada
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R1
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R2
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W1
|
W2
|
G
| ||
Segunda sacada
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R1
|
R1,R1
|
R2,R1
|
W1,R1
|
W2,R1
|
G,R1
|
R2
|
R1,R2
|
R2,R2
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W1,R2
|
W2,R2
|
G,R2
| |
W1
|
R1,W1
|
R2,W1
|
W1,W1
|
W2,W1
|
G,W1
| |
W2
|
R1,W2
|
R2,W2
|
W1,W2
|
W2,W2
|
G,W2
| |
G
|
R1,G
|
R2,G
|
W1,G
|
W2,G
|
G,G
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El espacio muestral para la primera sacada tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}. Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda sacada es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles:
Espacio muestral: {(R1,R1), (R1,R2), (R1,W1), (R1,W2), (R1,G), (R2,R1), (R2,R2), (R2,W1), (R2,W2), (R2,G), (W1,R1), (W1,R2), (W1,W1), (W1,W2), (W1,G), (W2,R1), (W2,R2), (W2,W1), (W2,W2), (W2,G), (G,R1), (G,R2), (G,W1), (G,W2), (G,G)}
El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden escoger en la segunda sacada. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:
Espacio de eventos: {(R1,R1), (R1,R2), (R2,R1), (R2,R2)}
De nuevo, nota que el tamaño del espacio muestral para las dos sacadas es el producto del tamaño de los espacios muestrales de cada sacada. De manera similar, le tamaño del espacio de eventos para las sacadas combinadas es igual al producto del tamaño de los espacios de eventos de cada sacada.
Ahora, veamos las probabilidades para las tres situaciones, usando la razón del tamaño del espacio de eventos con el tamaño del espacio muestral:
Situación
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Probabilidad del primer evento
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Probabilidad del segundo evento
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Probabilidad de ambos eventos
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Lanzar dados
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Sacar canicas
|  | |  |
Podemos derivar la fórmula a partir de estos datos. Como el espacio de eventos para una situación puede calcularse multiplicando los espacios de eventos de cada evento independiente, y el espacio muestral de la situación puede encontrarse multiplicando los espacios muestrales de cada evento independiente, tenemos:
Esto es válido para todas las situaciones con eventos independientes. También puede extenderse a más de dos eventos.
Si A y B son eventos independientes, P(A y B) = P(A) • P(B).
En general, para cualquier número de eventos independientes, la probabilidad de que todos los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que sucedan los eventos individuales.
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